Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут арифметики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна бота

студентки V курсу

факультету арифметики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса ­- 2000

Содержание

Введение.................................................................................... 3

Глава I. Главные сведения об интеграле Пуассона и

местах , и ................................. 8

§I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8

§I.2. Места ....................................................... 12

§I.3. Места и ......................................... 17

§I Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

наибольшая функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

, место ВМО........................................ 26

§II.1. Место , аспект принадлежности

функции из месту ....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,

двойственность и ВМО.................................. 32

Литература.................................................................................. 37

Введение.

Целью истинной работы является исследование главных понятий и результатов, приобретенных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат институтского курса. В работе прослежена связь меж последующими понятиями : интеграл Пуассона, места , , и , раскрыта сущность и структура этих объектов. Описание обозначенных понятий вводится конкретно в таковой последовательности , потому что определение каждого следующего объекта дается на базе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из 2-ух глав, любая из Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат которых делится на параграфы. В первой главе исследованы характеристики пространств , , , а во 2-ой мы доказываем коитерий принадлежности функции из месту и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай повторяющихся функций. Применяемые обозначения имеют последующий смысл:

- место повторяющихся, непрерывных на функций;

- место повторяющихся, нескончаемо дифференцируемых на функций Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат;

- место повторяющихся, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- место повторяющихся ограниченных на функций;

- носитель функции .

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-p,p] 2p-периодической комплекснозначной функции именуется функция

¦r ( x ) = ,

где , t Î [ -p, p ] - ядро Пуассона.

Тут мы доказываем последующие характеристики ядра Пуассона Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат, которые мы не один раз будем использовать в ряде доказательств:

а) ;

б) ;

в) для хоть какого d>0

Основной целью данного параграфа являются две аксиомы о поведении интеграла Пуассона при :

Аксиома 1.

Для случайной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Аксиома 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

В этом параграфе мы обращались к последующим понятиям:

Определение1. Функция именуется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некой ее округи. Молвят, что функция аналитична на неком огромном количестве,если она аналитична в каждой Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат точке этого огромного количества.

Определение2. Действительная функция 2-ух реальных переменных именуется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции и , связанные критериями Коши-Римана : , , именуются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой места понимается

, .

Определение5. Под нормой места понимается

, .

Определение6. Пусть ( либо , ). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат непрерывности) функции определяется равенством

, .

( , ).

Определение7. Последовательность функций, определенных на огромном количестве Х с данной на нем мерой, именуется сходящейся практически везде к функции , если для практически всех , т.е. огромное количество тех точек , в каких данное соотношение не производится, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем места - это совокупа аналитических в единичном Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат круге функций F (z) , для которых конечна норма

.

Главным результатом этого параграфа является аксиома о том, что всякую функцию ( ) можно предсавить в виде

, , ,

где для п.в. , при всем этом

;

.

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в последующих определениях:

Определение8. Молвят, что действительная функция , данная на отрезке [a Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая неизменная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .

Определение9. Действительная функция , данная на отрезке [a,b], именуется полностью непрерывной на [a,b], если для хоть какого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат , с суммой длин, наименьшей : , производится неравенство .

В 3-ем параграфе первой главы мы перебегаем к рассмотрению пространств и . Место ( ) представляет собой совокупа тех функций , , которые являются граничными значениями функций (реальных частей функций) из , т.е. представимы в виде ( ). Тут мы получаем последующие результаты: при место совпадает с , а при Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , ( ) с учетом их кратности:

,

где - кратность нуля функции при .

Тут доказывается, что любая функция представима в виде

, где не имеет нулей в круге и , ,а Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат - произведение Бляшке функции .

Потом мы рассматриваем понятие нетангенциальной наибольшей функции . Пусть , , - случайное число. Обозначим через , , область, ограниченную 2-мя касательными, проведенными из точки к окружности , и большей из дуг окружности, заключенных меж точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция именуется нетангенциальной наибольшей функцией для Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат .

Здесь же мы доказываем аксиому об оценке : если ( ), , то и .

1-ые результаты о наибольших функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.

Во 2-ой главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается место . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Потому в данном параграфе большой энтузиазм представляет аксиома - аспект принадлежности функции месту Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат . Тут вводится понятие атома: действительная функция именуется атомом, если существует обобщенный интервал таковой, что

а) ; б) ; в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается или интервал из , или огромное количество вида ().

Данный параграф посвящен аналогу аксиомы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат и тогда только тогда, когда функция допускает представление в виде

, , где , , - атомы. (*)

При всем этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.

Роль атомических разложений состоит в том, что они в ряде всевозможных случаев позволяют свести вывод глубочайших фактов к относительно обычным действиям с атомами Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих месту , просто вытекает приобретенный в 1971 году Ч.Фефферманом итог о двойственности пространств и . Подтверждению этого факта и посвящен 2-ой параграф данной главы. Сначала мы вводим определение : место ВМО есть совокупа всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А потом Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат доказываем аксиому о том, что .

Глава I.

Главные сведения об интеграле Пуассона и

местах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x ) , g (x ) , x ÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- повторяющиеся, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку

f*g(x) = dt

Из аксиомы Фубини следует, что свертка суммируемых Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат функций также суммируема на [-p,p] и

cn ( f*g ) = cn ( f )× c-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn (f)= -i n t dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Разглядим при 0 £ r < 1 функцию

¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x Î [ -p Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат, p ] . ( 2 )

Потому что для всех x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (потому что согласно аксиоме Мерсера [4] коэффициенты Фурье хоть какой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупы функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится умеренно по Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат х для хоть какого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn ( fr ) = cn (f)× r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это означает, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция 2-ух переменных Рr (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , именуется Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Как следует,

Pr ( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )

Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , беря во внимание , что

c-n ( f ) = , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат умеренно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) указывает, что для хоть какой реальной функции ¦Î L1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При всем этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( либо аналитическая ) в круге | z | 0 ) функция и ¦ (x) = u (eix ) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

u (z) = ( z = reix , | z | < 1 ) ( 10 )

Потому что ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) довольно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

= , | z | < 1+ e .

Но тогда Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции последующим образом :

и равенство (10) сходу следует из (2) и (3).

До того как перейти к исследованию поведения функции ¦r (x ) при r®1 , отметим некие характеристики ядра Пуассона:

а) ;

б) ; (11)

в) для хоть какого d>0

Соотношения а) и в) сходу следуют из формулы (5), а Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат для подтверждения б) довольно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.

Аксиома 1.

Для случайной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Подтверждение.

В силу (3) и характеристики б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для хоть какой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат , находим

.

Как следует,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , довольно близких к единице, из параметров а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, 2-ое утверждение аксиомы 1 вытекает из неравенства

.

Аксиома 1 подтверждена.

Дадим определения понятий "наибольшая функция" и "оператор слабенького типа", которые пригодятся нам в процессе подтверждения последующей аксиомы.

ОпределениеI.1.

Пусть Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат функция , суммируема на любом интервале (a,b), a

,

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор именуется оператором слабенького типа (р,р) , если для хоть какого y > 0

, .

Аксиома 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Подтверждение.

Покажем Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - наибольшая функция для f (x) *) . Для этой цели используем просто выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) подтверждено. Возьмем слабенький тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат. .

Согласно (13) при xÎ (-p,p)

Беря во внимание , что по аксиоме 1 для каждого xÎ [-p, p] и (14)

из последней оценки получим

при r®1.

Аксиома 2 подтверждена.

Замечание1.

Используя заместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позднее, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка reit стремится Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат к eix по некасательному к окружности пути.

§I.2.Места Hp .

Определение I.3.

Место - совокупа аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит месту , при этом

. (18)

Вправду, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Не считая того, в Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат силу неравенства мы имеем

(*)

С другой стороны , по аксиоме 1 ( а при р=¥ в силу аксиомы 2)

. Отсюда (**)

Беря во внимание (*) и (**) , получим (18).

Ниже мы докажем, что всякую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам будет нужно

Аксиома 3.

Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и

(19)

Тогда Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат j (t) полностью непрерывна на [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной варианты j (t) . Мы говорим, что

j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (полностью непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат полностью непрерывны). При всем этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , также если

- характеристическая функция замкнутого огромного количества .

Подтверждение аксиомы 3.

Нам довольно проверить, что для хоть какого замкнутого огромного количества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат огромного количества , при этом и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

владеющая качествами:

а) ;

б) ; (22)

в) .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а потом докажем саму лемму 1.

Пусть , где - конечная либо нескончаемая последовательность дополнительных интервалов огромного количества F, и для

.

Разумеется, что - открытое огромное количество и .

Разглядим для данных функцию , построенную в лемме 1 для Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат числа e и огромного количества . Тогда несложно проверить[3], что если , а , то разность

. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (потому что ряд Фурье нескончаемо дифференцируемой функции сходится умеренно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к подтверждению леммы 1. Нам пригодится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает последующими качествами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также понятно [3], что средние Фейера умеренно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-p, p] функция, для которой

и

Потому что средние Фейера умеренно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

таковой, что

(25)

Пусть . Разглядим Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат для каждого d>0 такую функцию , что

,

(функцию можно выстроить последующим образом: взять замкнутое огромное количество с мерой , довольно близкой к 2p, и положить

).

Потому что (тут число m то же, что в (24)), то для довольно малых d>0 функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При всем этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при довольно Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат большенном N

(27)

Положим

, (28)

Потому что h(t) - действительная функция, то , n=0,±1,±2,¼. Потому

и . (29)

Определим разыскиваемую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.

(30)

В силу соотношений (25), (27) и (29) для

,

а для

.

В конце концов, для хоть какого

.

Таким макаром, функция g(t) обладает всеми подходящими Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат качествами (22). Лемма1 , а вкупе с ней и аксиома 3 подтверждены.

Аксиома 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

(31)

При всем этом

1) , , ;

2) ;

3) .

Подтверждение:

Нам довольно обосновать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1). Вправду, если , то тем паче и из 1) и аксиомы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат. . При всем этом и по аксиоме 1

. В конце концов, из 1) следует, что

а тогда

.

Пусть . Для построения разыскиваемой функции положим

, , .

Функции , , имеют умеренно ограниченную по r вариацию на :

.

Как следует, по аксиоме Хелли [2] найдутся функция ограниченной варианты и последовательность , такие, что в каждой точке и

(32)

для хоть какой функции . При всем этом Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , как следует, по аксиоме 3 полностью непрерывна : существует функция , для которой

,

Тогда

, (33)

Зафиксируем число . Функция , аналитична в круге , потому согласно утверждению 1

, .

В пределе при из последнего равенства вытекает, что

, , .

Равенство 1) , а вкупе с ним и аксиома 4 подтверждены.

§I.3.Места Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат и .

Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

для п.в. , .

В силу пт 3) и 2) аксиомы 4 и любая функция удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы обосновали, что для случайной с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Как следует,

. (34)

Из Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство места , а - банахово место с нормой (15).

Пусть . Положим

,

, (35)

ОпределениеI.5.

Если функция , то сопряженной к ней функцией именуется функция , ,

где интеграл понимается в смысле головного значения, т.е. как предел при интегралов .

В предстоящем нам пригодится

Утверждение2.

Для хоть какой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат всем этом

а) , y>0;

б) если , , то и .

Аксиома 5.

Последующие условия эквивалентны :

а) ;

б) , , , ;

в) ;

г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит месту :

. (36)

Подтверждение:

Эквивалентность критерий а) и б) конкретно вытекает из (34), а эквивалентность критерий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат б). Для этого довольно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы : , имеют место равенства

, (37)

Конкретный подсчет по формуле (36) указывает, что

, , ,

. Как следует, равенства (37) производятся, если - случайный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для случайной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из последующих параметров функций Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат (наличие этих параметров мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, представим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Просто созидать, что , где , потому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

по мере . (38)

Для случайного найдем тригонометрический полином таковой, что

, . (39)

Тогда согласно 3)

(40)

и при

. (41)

Потому что Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат - полином, то и

. (42)

Беря во внимание, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,

что совместно с (38) обосновывает равенство (37).

Докажем сейчас, что для случайной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сходу следует из неравенства Чебышева, потому что .

Чтоб обосновать 2), закрепляем случайное и представим функцию в виде

, , . (43)

Из непрерывности функции просто следует, что

умеренно Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат по . Потому при довольно огромных с учетом (43) мы будем иметь

, (44)

Не считая того, в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при

.

Для подтверждения оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и беря во внимание, что , получим 3).

Характеристики 1)-3) подтверждены. Тем установлено, что из условия г) в аксиоме Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат 5 следует б). Для окончания подтверждения аксиомы 5 довольно показать, что из в) вытекает г).

Пусть ( , , ) и

. Тогда по аксиоме 4 , и нужно обосновать только, что для п.в. .

Потому что ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при и

, .

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для хоть какого ,

, . (45)

Согласно аксиоме 1

. (46)

Не считая Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат того, в силу утверждения 2, из сходимости ( ) следует сходимость по мере функций к . Таким макаром,

по мере ( ),

а поэтому , беря во внимание (46), для п.в. .

Аксиома 5 подтверждена.

Следствие 1.

а) Если , то ;

б) если и , то ;

в) если , , , , то

. (47)

Подтверждение.

Соотношения а) и б) сходу следуют из эквивалентности критерий Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат а) и г) в аксиоме 5.

Чтоб получить в), положим

,

.

Согласно аксиоме 5 , , а как следует, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

. (48)

Из (48) конкретно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) аксиомы 5 и утверждения 2 место совпадает с . Для р=1 это не так. Место уже, чем , и Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат состоит согласно п. г) аксиомы 5 из функций , для которых и .

- банахово место с нормой

. (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты места : если при , то , , , и потому что по мере при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) производится, а именно, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат в (47) заместо функцию и беря во внимание б), мы получим

, если . (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная наибольшая функция.

Пусть последовательность ненулевых всеохватывающих чисел (не непременно разных) - удовлетворяет условию

, , . (51)

Разглядим произведение(произведение Бляшке)

. (52)

Для фиксированного , , при имеет место оценка

. (53)

Потому что ряд (51) сходится, то из (53) просто вывести, что произведение (52) сходится полностью Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат и умеренно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и исключительно в этих точках. При всем этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим

, . (54)

Допустим сейчас, что ( ) - нули некой функции с , при этом любой из их повторяется со собственной кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,

Функция Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат ( ) аналитична в круге радиуса больше единицы, и , если . Как следует, и согласно п.3 аксиомы 4 . Но тогда

и

, (55)

Потому что , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а означает, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть - аналитическая в круге функция и , ( ) - ее нули, повторяющиеся со собственной кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

(56)

именуется произведением Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат Бляшке функции .

Справедлива

Аксиома 6.

Любая функция представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

, ,

а - произведение Бляшке функции .

Подтверждение.

Пусть , ( ) - нули функции ( либо, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

, . (57)

При всем этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат нем нулей и .

Для подтверждения оборотного неравенства разглядим личные произведения (56):

, , .

Потому что для хоть какого , то по аксиоме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и беря во внимание, что ( ) умеренно по , мы получим

, ,

т.е. , .

Аксиома 6 подтверждена.

ОпределениеI.7.

Пусть , , - случайное число. Обозначим через , , область, ограниченную 2-мя Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат касательными, проведенными из точки к окружности , и большей из дуг окружности, заключенных меж точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция именуется нетангенциальной наибольшей функцией для .

В силу аксиомы 2

для п.в. . (58)

Установим, что для случайной функции величина не превосходит (по порядку Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат) значения наибольшей функции *) в точке х, т.е.

, . (59)

Нам пригодится

утверждение 3.

а) если функция , то для хоть какого

;

б) если функция , то ,

где - неизменная, зависящая только от числа р.

Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

. (60)

Потому что обе функции Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат и положительны при и отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

. (61)

Для имеют место оценки

,

.

Как следует, для подтверждения неравенства (59) довольно проверить, что

при , (62)

если . Пусть , тогда

.

В других случаях неравенство (62) разумеется. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для хоть какой функции , ,

, (63)

где - неизменная, зависящая только от .

Аксиома 7.

Пусть ( ), и Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат

, .

Тогда и

. (64)

Подтверждение.

Утверждение аксиомы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и аксиомы 4. Пусть сейчас . По аксиоме 6 , где , , если и . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, как следует из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для вытекает из (58).

Аксиома 7 подтверждена.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , место Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат ВМО.

§II.1.Место , аспект принадлежности функции из

месту .

Разглядим ( ) - место функций , являющихся граничными значениями реальных частей функций из места :

для п.в. , . (65)

Ранее мы обосновали, что

, , (66)

и что - банахово место с нормой

; (67)

при всем этом, если в (65) , то

( ) . (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при место совпадает с местом и Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат из утверждения 2 следует, что

( ).

Последнее соотношение теряет силу при - несложно проверить, что при

,

где

и, как следует, существует функция , для которой . Таким макаром, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим аспект принадлежности функций к месту .

ОпределениеII. 8.

Огромное количество мы будем именовать обобщенным интервалом, если - дуга на единичной окружности, т.е. - или интервал из Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат , или огромное количество вида

( ). (69)

Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно именовать величину

Определение II.9.

Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал таковой, что

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Аксиома 8.

Для того, чтоб производилось включение: , нужно и довольно, чтоб функция допускала представление Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат в виде *)

, , (70)

где , , - атомы. При всем этом

, (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С - абсолютные константы.

Подтверждение.

Достаточность.

Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и . Для этого довольно проверить, что для хоть какого атома имеет место неравенство

. (72)

Пусть - таковой обобщенный интервал Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат, что

, , (73)

(случай банален). Потому что , то нам остается обосновать, что

. (74)

Для хоть какого измеримого огромного количества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

, (75)

откуда сходу вытекает (74), в случае, когда .

Допустим сейчас, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с этим же центром, что и . Из (75) следует, что

.

Нам остается оценить Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат интеграл . Мы воспользуемся естественным неравенством

, ,

где - длина меньшей из 2-ух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а - абсолютная неизменная. В силу (73) при мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, беря во внимание, что и , мы находим

, , где .

Как следует,

.

Оценка (74), а поэтому и оценка (72) подтверждены.

Необходимость.

Построим для Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат данной функции разложение (70), для которого

.

Пусть функция с такая, что выполнено соотношение (65), и пусть ( ) - нетангенциальная наибольшая функция для , т.е.

, , (75')

где - область, ограниченная 2-мя касательными, проведенными из точки к окружности , и большей дугой окружности , заключенной меж точками касания.

Аксиома 7 утверждает, что , потому нам довольно отыскать такое разложение функции на атомы Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат (70), что

, (76)

где неизменные С и ( ) не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) закрепляем число : пусть, к примеру, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

. (77)

Разглядим на отрезке огромного количества

, , (78)

Потому что при любом огромное количество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при огромное количество (если оно непустое Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

, при , , . (79)

Положим и при

(80)

Потому что конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в. при , а означает, для п.в.

.

Отсюда, беря во внимание, что , а как следует из (80), при , мы находим, что

, (81)

где - характеристическая функция огромного Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат количества . Из (81), беря во внимание, что , мы для функции получаем последующее разложение:

для п.в. , (82)

где

, , (83)

При помощи функций мы и построим необходимое нам разложение вида (70). Сначала отметим, что при ,

, . (84)

Докажем сейчас, что для п.в.

, , (85)

где неизменная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Потому что из (65) и (75') для Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат п.в. , то из (77) следует, что

.

Пусть сейчас , - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги ( ) , то , а означает,

, . (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

при . (87)

Просто созидать (беря во внимание, что и ) , что огромного количества и пересекаются в одной точке:

с , . (88)

Пусть , , - отрезок, соединяющий Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат точки и . Потому что , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Потому , беря во внимание (88)

, , , . (89)

Разглядим область , ограниченную

отрезками и и дугой ;

пусть, дальше, для

,

, .

По аксиоме Коши [5] .

Отсюда и из (89), беря во внимание, что для хоть какой дуги справедливо равенство ,

мы получим

.

Но в силу Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат теорем 4 и 5

, ,

и потому что , , то мы находим, что

. (89')

Просто созидать, что отношение ограничено сверху числом, зависящим только от s, потому

, . (90)

Потому что , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сходу следует из определения функций и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат , а это означает, что функции

, , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:

для п.в. ,

где , .

Оценим сумму модулей коэффициентов обозначенного разложения. Беря во внимание равенство (77), имеем

.

Неравенство (76), а поэтому и аксиома 8 подтверждены.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.

Дадим описание места , сопряженного Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат к банахову месту . Нам будет нужно

Определение II.10.

Место ВМО есть совокупа всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .

Несложно удостоверится, что ВМО является банаховым местом с нормой

. (92)

Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Несложно проверить, к примеру, что функция Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат .

Аксиома 9.

, т.е.

а) если , и для случайной функции разглядеть ее разложение на атомы (по аксиоме 8):

, , , - атомы *) (93)

и положить

, (94)

то сумма ряда (94) конечна, не находится в зависимости от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;

б) случайный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При всем этом

(С, С1 - абсолютные неизменные Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат).

Лемма 2.

Пусть функция такая, что для хоть какого обобщенного интервала найдется неизменная , для которой

,

где М не находится в зависимости от . Тогда и .

Подтверждение.

Для хоть какого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

. (95)

Следствие 2 конкретно вытекает из леммы 2, если учитывать, что Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат

для случайного обобщенного интервала .

Подтверждение аксиомы 9.

а) Пусть . Положим

Потому что всегда , то, беря во внимание равенства

, ,

,

мы при помощи следствия 2 находим

, (96)

Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По аксиоме 8 существует разложение

, , (97)

где функции являются атомами и , и при

, , . (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при

.

Отсюда, беря во внимание, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат функции и для п.в. , мы получим, что

.

Таким макаром, равенством

, , (99)

определяется ограниченный линейный функционал на везде плотном в линейном обилии (плотность функций из в вытекает из аксиомы 8, потому что для всякой функции личные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, разумеется, принадлежат месту ). Потому функционал можно единственным образом продолжить на Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат все место :

, . (100)

Остается обосновать, что для хоть какого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сходу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :

.

б) Пусть L - случайный ограниченный линейный функционал на . Тогда из аксиомы 4.1 и (67) для хоть какой функции

(С - абсолютная неизменная). Это означает Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат, что L - ограниченный линейный функционал на , а как следует, найдется функция с

, (101)

для которой

, . (102)

А именно, равенство (102) производится, если - случайный атом. Докажем, что

. (103)

Пусть I - случайный обобщенный интервал, - случайная функция с . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу аксиомы 8 . Потому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию хорошим образом, мы получим, что Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат для хоть какого обобщенного интервала I

,

что с учетом соотношения обосновывает оценку (103).

Таким макаром, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) аксиомы 9). Потому что место плотно в , то, как следует,

для хоть какой функции .

Приобретенное равенство завершает подтверждение аксиомы Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и многофункционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Лаконичный курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Базы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные характеристики и двойственность неких многофункциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x | > p Атомические разложения функций в пространстве Харди - реферат .

*) Потому что функция определялась для функций , данных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*) В силу критерий а) и в) в определении 9 , , потому ряд (70) сходится по норме места и п.в.

*) Вероятен случай, когда при .



atleticheskaya-gimnastika-referat.html
atmosf-ernie-fronti-ih-klassif-ikaciya-us-loviya-pogodi-i-poletov.html
atmosfera-i-klimat-zemli.html